Аэродинамическая задача Ньютона

Содержание

Введение ↓
Редкая среда ↓
Тело вращения ↓
Формальная постановка задачи ↓
Вывод функционала
Решение в классе y=x^p
Тренировка в построении оптимального тела вращения
Задания по теме
Литература ↓

Введение

В 1687 году вышли "Математические начала натуральной философии" Ньютона. В "Отделе VII": "О движении жидкостей и сопротивлении брошенных тел" есть интересный абзац:

Когда же фигура DNFG будет кривою такого рода, что если из любой ее точки N опустить на ось перпендикуляр NM и из заданной точки G провести прямую GR параллельную касательной к кривой в точке N и пересекающую ось в точке R, то имеет место пропорция:
MN : GR = GR³ : 4BR . GB²
тогда тело, образующееся при обращении этой кривой около оси AB при движении в вышеупомянутой редкой среде в направлении от A к B будет испытывать меньшее сопротивление, нежели всякое иное тело вращения, описанное на той же длине и той же наибольшей ширине.

Цитируется по [1], стр.383.

Как Ньютон пришел к такому решению, до сих пор остается непонятным. Некоторые авторы, в частности [2], считают, что в этом вопросе Ньютон был не прав. Здесь, пользуясь методами классического вариационного исчисления, применяя численные методы, детально проанализируем эту задачу.

Редкая среда

Рассматриваемая Ньютоном среда состоит "из равных частиц свободно расположенных на равных друг от друга расстояниях". Причем, так как среда "редкая", то вероятность столкновения частиц между собой принимается равной нулю. Среда, кроме того, считается абсолютно упругой, то есть столкновение частиц среды с телом происходит по правилу: угол падения равен углу отражения; модуль скорости во время удара не изменяется (нет потерь энергии).

Тело вращения

Ньютон рассматривает тела вращения симметричные относительно плоскости,
Рис. 1
содержащей сечение наибольшего радиуса (рис. 1). Вероятно, это имеет смысл для возможности движения в обоих направлениях вдоль оси вращения. Здесь мы не будем требовать этого. Если рассмотреть тела вращения, различающиеся только "хвостовой" частью,
Рис. 2: Тела с одинаковой силой сопротивления
то есть формой "за" максимальным радиусом (рис. 2), то сопротивление для них будет одинаковым. Это вытекает из рассматриваемой модели обтекания.

Формальная постановка задачи

Найти образующую y=y(x), y(0)=0, y(x₁)=y₁, x₁>0, которая бы при вращении в пространстве xyz вокруг оси Ox, дала тело вращения с наименьшим сопротивлением при движении в отрицательном направлении оси Ox в рассматриваемой среде.

Далее, для определенности, возьмем x₁=1, y₁=1

Примечание 1:

Кроме вышеупомянутых должны быть рассмотрены следующие естественные ограничения:
a) y([0,1]) >= 0
б) форма образующей не допускающая повторных соударений частиц среды с телом. Другими словами, любая частица среды не должна ударяться о тело более одного раза. Если это условие не выполняется, то вывод функционала сильно усложнится. Достаточным признаком выполнения этого условия является выполнение y''(x) <= 0.

Пока опустим условия, упомянутые в примечании 1, после получения результата просто проверим их выполнение.

Решение в классе y=x^p

Тренировка в построении оптимального тела вращения

Задания по теме

Задания по теме: tasks.pdf (95K)

Литература

Ньютонъ Ис.Математическiя Начала Натуральной Философiи. Переводъ с латинскаго съ примечанiями и поясненiями А.Н.Крылова. Книги II и III. Петроградъ: Типографiя М.М.Стасюлевича, 1916
Л.Янг. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. Пер. с англ. - М.: “Мир”, 1974
Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление. М.: "Наука", 1973
Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1988
Хейз У.Д. Формула давления Ньютона // Теория оптимальных аэродинамических форм: Сб. статей под ред. А.Миеле, пер. с англ. М.: “Мир”, 1969, с. 197-202
Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. (Глава III)
Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: ИЛ, 1962. (Глава III)