Г л а в а   12


ФОРМУЛА ДАВЛЕНИЯ НЬЮТОНА


У. Д. Хейз



1. Введение

В гиперзвуковой аэродинамике широко используется формула

Cp = 2 sin2$\displaystyle \theta$, (1)

известная как формула давления Ньютона. Здесь Cp — коэффициент давления; $ \theta$ — местный угол наклона контура тела по отношению к направлению невозмущенного потока. Эта формула названа именем Исаака Ньютона, открывшего ее на основе дедуктивных соображений (см. его «Математические начала натуральной философии» [1]).

При оценке этого результата Ньютона следует учитывать состояние механики семнадцатого века. В то время совершенно не были развиты основные положения в области термодинамики, кинетической теории, вязкости, ударных волн, акустики и т. д. Таким образом, два с половиной века спустя мы можем легко найти ошибки в выводах Ньютона. Однако его дедуктивное доказательство представляет самостоятельный интерес; кроме того, мы считаем, что Ньютон понимал и применял понятие подобия.

Наиболее доступным первоисточником трудов Ньютона является английский перевод Кэджори-Мотта третьего издания «Начал» [1]. Здесь мы кратко отметим основные положения соответствующих предложений из II книги «Начал».

а)  Предложение 23. Постулируется корпускулярная модель газа, который подчиняется закону Бойля и в котором упругость обусловливается силами отталкивания между частицами. Это основная модель для последующего исследования газов.

б)  Предложения 32 и 33. Устанавливается подобие систем для указанной выше модели газа, эквивалентное нашему обычному подобию по числу Маха; при этом давление считается пропорциональным плотности и квадрату скорости.

в)  Предложение 33. Следствия II и III. Ньютон заключает, что при очень больших скоростях можно пренебречь упругостью газа. Это эквивалентно закону независимости течения от числа Маха или закону подобия Осватича для модели Ньютона.

г)  Предложение 35. Без учета упругости газа Ньютон исследовал его взаимодействие со стенкой в случае зеркального отражения частиц (случай 1) и в случае неупругого нормального столкновения с сохранением тангенциального количества движения (случай 2). Полученные результаты в последнем случае эквивалентны уравнению (1), а в первом — уравнению (1) с коэффициентом 4 вместо 2.

д)  Предложение 34. Поскольку давление пропорционально квадрату синуса, то сопротивление сферы вдвое меньше сопротивления кругового цилиндра того же диаметра, ось которого направлена по потоку.

е)  Поучение к предложению 34. Из трех представленных здесь результатов наиболее интересен последний. Здесь Ньютон указывает форму тела вращения минимального сопротивления с заданными диаметром основания и длиной. Первый же результат, определяющий форму усеченного конуса минимального сопротивления с заданными основанием и высотой, важен для нас в том смысле, что он определяет предельный случай для тел оптимальной формы. Когда отношение высоты конуса к площади его лобового основания стремится к нулю, оптимальный угол наклона его образующей стремится к 45°.

Более подробно эти теоремы Ньютона рассмотрены в работе [2, гл. III].

2. Задача о минимальном сопротивлении

Здесь мы остановимся на результатах, изложенных в поучении к предложению 34, где описана форма тела вращения минимального сопротивления, полученная по формуле давления Ньютона. Введем обычные обозначения: x — координата в направлении невозмущенного потока; y — радиальная координата; y(x) — меридиональный контур тела; $ \dot{y}$ — производная dy/dx; индексы i, f — начальная и концевая точки контура. Пусть тело имеет плоскую носовую часть. Замечая, что угол наклона контура тела удовлетворяет соотношению sin2$ \theta$ = $ \dot{y}^{2}_{}$/(1 + $ \dot{y}^{2}_{}$) и дифференциал площади в поперечной плоскости равен 2$ \pi$y$ \dot{y}$dx, мы будем минимизировать функционал

I = $\displaystyle \int\limits_{x_i}^{x_f}$$\displaystyle {\frac{y \dot{y}^3}{1+\dot{y}^2}}$dx + $\displaystyle {\frac{y_i^2}{2}}$, (2)

представляющий собой сумму интеграла и функции, зависящей от координаты начальной точки контура. Этот функционал рассматривается при следующих граничных условиях:

xi = 0,  xf = l,  yf = t/2, (3)

где l — длина тела; t — диаметр основания (миделя); радиус носика тела yi, находится из решения вариационной задачи. Видно, что при использовании обычных методов вариационного исчисления уравнение Эйлера допускает следующий первый интеграл:

y$\displaystyle \dot{y}^{3}_{}$/(1 + $\displaystyle \dot{y}^{2}_{}$)2 = yi/4 (4)

Константа в этом выражении вычислена из условия трансверсальности, из которого также следует, что $ \dot{y}_{i}^{}$ = 1. Более подробно это решение и второй интеграл, зависящий от параметра, рассмотрены в гл. 16 и в работе [3]. Первый интеграл (4) получен Ньютоном в его поучении к предложению 34.
Рис. 1. Ньютоновская форма тела минимального сопротивления. Невозмущенный поток набегает слева.

В самих «Началах» нельзя найти даже намека на то, как Ньютон получил свой результат. Решение было найдено в его переписке; оно обсуждается Кэджори в приложении к работе [1] (примечание 35). Использованный им метод можно применить к любой задаче, в которой основная функция F(x, y,$ \dot{y}$) не зависит от x или от y.

Для объяснения метода Ньютона воспользуемся рис. 1, где отрезок BC изображает ось x между начальной и концевой точками, BG равно yi, CD равно yf, а контур GgNnD — искомая экстремаль. Обозначим через m произвольную точку на оси x и примем отрезок on = hg в качестве дифференциала расстояния, тогда Gg и Nn можно будет приближенно рассматривать как прямолинейные отрезки. Ньютон при варьировании считал, что bM и Bb + Mm фиксированы, а величина z = (Mm - Bb)/2 рассматривалась как независимая переменная. При варьировании z отрезок кривой между точками g и N просто смещается в поперечном направлении. Интеграл, который можно минимизировать, выражается через z, а его экстремум по z находится путем приравнивания нулю производной по z. Эта процедура возможна вследствие того, что доля, вносимая отрезком gN, не зависит от z. Результатом является первый интеграл (4) с произвольной постоянной.

Часть тела, обозначенная через BGgb, является усеченным конусом. К нему применим первый результат поучения, заключающийся в том, что угол gGh должен быть равен 45╟. Этот результат дает возможность определить постоянную в первом интеграле и получить уравнение (4).

Ясно, что результат Ньютона, опубликованный в 1687 г., представляет собой основу общего метода вариационного исчисления для решения нетривиальных задач. Классическую задачу о брахистохроне И. Бернулли решил в 1697 г. и предложил ее Ньютону в письме [4]. Ньютон решил задачу за 12 часов. Скорость, с которой он мог решить эту задачу, на первый взгляд кажется удивительной. Однако метод, разработанный Ньютоном ранее, можно было непосредственно применить к этой новой задаче, и поэтому такая скорость решения кажется вполне естественной. Задача о брахистохроне подобна задаче Ньютона о теле минимального сопротивления, за исключением того, что второй интеграл в ней сводится к квадратурам, позволяющим представить решение в явном виде 1).

Способ варьирования, использованный Ньютоном, можно интерпретировать как варьирование величины $ \dot{x}$(y) в интеграле

I = $\displaystyle \int\limits_{0}^{y_f}$$\displaystyle {\frac{y}{1+\dot{x}^2}}$dy (5)

где $ \dot{x}$ — производная dx/dy. В этом выражении, которое эквивалентно функционалу (2), роли зависимой и независимой переменных поменялись местами. Хотя Ньютон исследовал только слабые вариации, ясно, что его метод также применим и для сильных вариаций. Этот метод можно использовать для подтверждения результата Лежандра о том, что экстремаль (4) не минимизирует интеграл (5), если x может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

3. О применимости формулы давления Ньютона

Теперь вернемся к вопросу о применимости формулы давления Ньютона к реальным течениям газа [2], [5]. Ньютоновская модель газа по существу представляет собой модель разреженного газа, тогда как действительный механизм взаимодействия молекул газа с твердыми границами в принципе отличается от нее. Формула давления Ньютона приближенно справедлива для холодных тел при очень больших скоростях, но несправедлива для нагретых тел. Однако весьма существенно то, что в разреженном потоке на тело действуют большие касательные напряжения, которые не учитываются формулой давления Ньютона. Для газов с большой плотностью эта формула давления много лет назад рассматривалась баллистиками как эмпирическая формула с неизвестной константой. В 1930 г. было признано, что уравнение (1) может быть пригодным для течений газа с большой скоростью. Как показал Буземан [6], необходимые условия для этого состоят в том, чтобы а) отношение плотности невозмущенного потока к плотности за передней ударной волной было очень мало и б) кривизна контура тела в направлении невозмущенного потока была мала.

В настоящее время формула давления Ньютона (1) обычно применяется для определения давления на телах различной формы при обтекании их потоком газа с большой скоростью. Применение этой формулы носит чисто эмпирический характер, так как одновременно оба условия а) и б) редко удовлетворяются даже приближенно. Ошибки, обусловленные нарушением условий а) и б) для выпуклых тел, имеют тенденцию к взаимному уничтожению. Именно этим можно объяснить экспериментальное подтверждение формулы давления Ньютона.

Для любых приложений важно иметь в виду эмпирический характер формулы (1). Она не может быть полностью применима для тел произвольной формы, а также для расчета изменений давления на теле, вызванных сколь угодно малыми изменениями его формы. Таким образом, применение формулы (1) для решения задачи о телах оптимальной формы оставляет некоторые сомнения.

Каких результатов в таком случае мы можем ожидать от решений вариационных задач с применением формулы давления Ньютона? Мы можем ожидать, что получающиеся в результате решения вариационных задач тела выпуклой формы должны быть вполне подобны телам истинно оптимальной формы. Кроме того, влияние различных условий на рассчитанную форму тела должно быть по крайней мере качественно верно. Таким образом, качественные оценки можно получить несомненно.


ЛИТЕРАТУРА

  1. N e w t o n  I.,  Mathematical principles of natural philosophy, A. Motte's translation revised by F. Cajori, University of California Press, Berkeley, California, 1934. Имеется русский перевод:  Н ь ю т о н  И.,  Математические начала натуральной философии, перевод с лат. с предисловием и дополнением акад. А. Н. Крылова, СПБ, 1915-1916; см. также  К р ы л о в  А. Н., Собрание трудов, т. 7, изд. АН СССР, М.-Л., 1936.
  2. X е й з  У. Д.,  П р о б с т и н  Р. Ф.,  Теория гиперзвуковых течений, ИЛ, М., 1962.
  3. Е g g e r s  A. J., Jr.,  R e s n i k o f f  M. M.,  D e n n i s  D. Н.,  Bodies of revolution having minimum drag at high supersonic airspeeds, NACA, Report  1306, 1957.
  4. A n t h o n y  H. D.,  Sir Isaac Newton, Collier Books, Riverside, New Jersey, 1961.
  5. Ч е р н ы й  Г. Г.,  Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью, Физматгиз, М., 1959.
  6. B u s e m a n n  A.,  The motion of liquids and gases (in German), Hand-wörterbuch der Naturwissenschaften, v. 4, Gustav Fischer, Jena, 1933.




Хейз У.Д. Формула давления Ньютона // Теория оптимальных аэродинамических форм: Сб. статей под ред. А.Миеле, пер. с англ. М.: "Мир", 1969, с. 197-202

Статья в виде, подготовленном для печати в виде мини-тетрадки:
PSrarhaiz_ps.rar (129 K)




Vari Home New!
Вариационное исчисление | Домашняя страница | Новости


Пишите по адресу: iagsoft@imm.uran.ru


1) В задаче Ньютона решение также можно представить в явной форме в виде обратной функции. — Прим. ред.