Направление - 511300 ( механика, прикладная математика)
Специальность - 010500
Семестры 6,7
| Общее количество часов (трудоемкость) | - | 130 час. |
| в т.ч.: | ||
| лекции | - | 64 час. |
| практические занятия | - | 18 час. |
Отчетности:
зачет - 6, 7 семестры
| Контрольные мероприятия: | |||
| контрольные работы: | |||
| 6 семестр | - | 1 | |
| коллоквиумы: | |||
| 6 семестр | - | 1 | |
| 7 семестр | - | 1 |
Разработчики программы:
Пацко Валерий Семенович, кандидат физ.-мат. наук, с.н.с.
Иванов Алексей Геннадьевич, н.с.
"Вариационное исчисление и методы оптимизации" является общеобразовательным курсом в фундаментальной подготовке механиков, выпускаемых университетом. Многие практические задачи, представленные в математической форме, состоят в нахождении оптимума (минимума или максимума) некоторой функции (функционала) с учетом ограничений, наложенных на допускаемые значения переменных. Такие задачи принято называть оптимизационными.
Вариационное исчисление (оптимизация интегральных функционалов) изучается в течение одного семестра. Основное внимание уделяется классическим теоремам и методам исследования. Необходимые условия оптимальности излагаются на основе метода Лагранжа - введение числового параметра, дифференцирование по этому параметру. Демонстрируется универсальность этого метода для самых разных задач. Достаточные условия оптимальности базируются на конструкциях теории поля.
На практических занятиях главное внимание уделяется задачам с хорошим механическим содержанием. Рассматриваются классические модельные задачи: задача о брахистохроне, задача о наименьшей поверхности вращения, аэродинамическая задача Ньютона. В каждой из них находится глобальное оптимальное решение, анализируется его зависимость от параметров задачи. На примере этих задач студенты знакомятся с численными методами. При этом используется специально разработанное программное обеспечение, позволяющее в рамках каждой задачи рассмотреть различные типы решений и способы их получения.
Традиционно в УрГУ для механиков читается спецкурс "Теория оптимального управления". Поэтому в курсе вариационного исчисления лишь обсуждается связь классического вариационного исчисления и современной теории оптимального управления.
Методы конечномерной оптимизации также изучаются в течение одного семестра. Два занятия отводится на решение задач. Основная тема - метод множителей Лагранжа, его различные интерпретации. В учебный материал включены элементы выпуклого анализа. При изложении теории двойственности студенты знакомятся с теоремами, связывающими максимин и минимакс.
Все основные утверждения курса даются с полными доказательствами. Изучение данной дисциплины позволит приобрести навыки в построении математических моделей различных практических задач, в выборе математических методов для их решения с использованием вычислительных машин, помогает глубже понять ряд других специальных курсов. Эта дисциплина развивает математическую интуицию, воспитывает математическую культуру, необходимую для правильного использования математики.
История развития задач на минимум и максимум, классическое вариационное исчисление. Простейшая вариационная задача. Уравнение Эйлера. Необходимые условия оптимальности для случая векторной функции и в задаче со старшими производными. Условие трансверсальности. Вариационные задачи в параметрической форме. Необходимые условия оптимальности в вариационной задаче с функционалом, задаваемым двойным интегралом. Вариационное исчисление и задачи механики. Принцип Гамильтона. Задачи вариационного исчисления с ограничениями. Изопериметрические задачи. Вариационное исчисление и современные задачи оптимального управления. Элементы теории поля. Достаточные условия оптимальности (условия Вейерштрасса, Лежандра, Якоби). Уравнение Гамильтона-Якоби. Численные методы решения задач вариационного исчисления. Классические модельные задачи вариационного исчисления.
Гладкие задачи математического программирования. История развития задач математического программирования. Правило множителей Лагранжа. Необходимые условия локального оптимума для задач с ограничениями в виде равенств и в виде неравенств. Элементы выпуклого анализа. Теорема об отделимости выпуклых множеств. Задачи выпуклого программирования. Максимин и минимакс. Матричные игры. Двойственность в математическом программировании. Задачи линейного программирования и проблемы экономики. Симплекс-метод. Численные методы решения задач без ограничений: метод Ньютона, градиентные методы, методы прямого поиска.
1. Необходимые условия оптимальности первого порядка в простейшей задаче вариационного исчисления. Интегрирование уравнения Эйлера.
2. Классическая задача о брахистохроне. Задача о брахистохроне в центральном поле тяготения.
3. Задача о наименьшей поверхности вращения. Глобальный и локальные минимумы, вырожденные решения.
4. Необходимые условия в задаче со старшими производными. Задача управления с оптимизацией расхода "энергии".
5. Вариационные задачи с подвижными границами. Условия трансверсальности.
6. Аэродинамическая задача Ньютона. Оптимальные решения в различных классах допустимых функций. Роль условия трансверсальности в задаче Ньютона.
7. Прямые методы решения задач вариационного исчисления. Использование алгоритмов конечномерной оптимизации.
8. Демонстрация на компьютере численных методов применительно к аэродинамической задаче, задаче о наименьшей поверхности вращения, задаче о брахистохроне.
9. Необходимые условия в вариационной задаче с функционалом, задаваемым двойным интегралом. Задача Плато.
10. Задачи вариационного исчисления с ограничениями.
11. Необходимые условия в изопериметрической задаче.
12. Поле экстремалей. Условия Вейерштрасса, Лежандра, Якоби. Достаточные условия оптимальности. Проверка достаточных условий в задаче о наименьшей поверхности вращения и в задаче о брахистохроне.
1. Задачи на условный экстремум с ограничениями в виде равенств и неравенств.
2. Выпуклые множества. Выпуклые функции. Опорная функция. Субдифференциал.
1. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.: Наука, 1984.
2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
3. Альбрехт Э.Г., Каюмов Р.И., Соломатин А.М., Шелементьев Г.С. Методы оптимизации: введение в теорию решения экстремальных задач. Екатеринбург: УрГУ, 1993.
4. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат, 1955.
5. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.
6. Бересекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987.
7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.
8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. 1981.
9. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1961.
10. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976.
11. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.
12. Краснов М.Л., Макаренко Г.П., Киселев А.И. Вариационное исчисление: Задачи и упражнения. М.: Наука, 1973.
13. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том. II. М.: Наука, 1970.
14. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А., Курс вариационного исчисления. М.: ГОНТИ, 1938.
15. Методы оптимизации: Сборник задач. Свердловск; УрГУ, 1988.
16. Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. М.: "Мир", 1973.
17. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.
18. Теория оптимальных аэродинамических форм: Сб. статей под ред. А.Миеле, пер. с англ. М.: "Мир", 1969
19. Учебная программа, темы контрольных работ и вопросы к коллоквиумам по курсу "Методы оптимизации" (Методические указания). Свердловск: Изд-во Уральского госуниверситета, 1986.
20. Эльсгольц Л.В. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
21. Эльстер К.-Х., Рейнгардт Р., Шойбле М., Донат Г. Введение в нелинейное программирование. М.: Наука, 1985.
iagsoft@imm.uran.ru