ЗАДАЧА О БРАХИСТОХРОНЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

Задача о брахистохроне в центральном поле тяготения является модификацией классической задачи о брахистохроне ( $\beta \rho \acute \alpha \chi \iota \sigma \tau o \zeta$ - кратчайший, $\chi \rho \acute o \nu o \zeta$ - время ), предложенной в 1696г. Иоганном Бернулли и сыгравшей большую роль в развитии вариационного исчисления.

1. Классическая задача о брахистохроне

Пусть даны две точки, расположенные на разной высоте и не лежащие на одной вертикальной прямой. Проведем через данные точки вертикальную плоскость и рассмотрим кривые, соединяющие эти точки и расположенные в данной плоскости. Из этих кривых выберем такие, что материальная точка единичной массы, выходящая из верхней точки P со скоростью v₀ = 0, двигаясь только под действием силы тяжести, достигнет нижней точки Q. Задача о брахистохроне формулируется следующим образом:

Существует ли среди этих кривых такая, которую точка пробегает за минимальное время?
Если такая кривая существует, то как ее найти?

Формализуем данную задачу. Выберем в вертикальной плоскости, определенной двумя данными точками, прямоугольную систему координат так, чтобы точка P совпала с началом координат, а ось Oy направим вертикально вниз. Пусть точка Q имеет координаты (x₁, y₁) (рис.1).

Рис.1 Для простоты предположим, что рассматриваются только такие кривые, которые являются графиками функций y, где y $\in$ (R¹ $\rightarrow$ R¹) $\bigcap$ C₁[0, x₁]. Итак, выберем такую функцию y, которая удовлетворяет граничному условию

y(0) = 0, y(x₁) = y₁.

В этом случае время T = T[y(^.)], необходимое материальной точке для движения вдоль кривой, которая является графиком функции y = y(x) (x $\in$ [0, x₁]), выражается следующей формулой:

T[y(^.)] = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt {2g}}}$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{x_1}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{1+y'^2(x)}{y(x)}}$ dx

(1)

(g - ускорение свободного падения). Сформулированная проблема приводит к исследованию на экстремум функционала T[y(^.)] .

2. Постановка задачи о брахистохроне в центральном поле тяготения

Пусть даны две точки P и Q, расположенные в центральном поле тяготения. Проведем через точки P и Q и центр тяготения плоскость и рассмотрим кривые, соединяющие эти точки и расположенные в данной плоскости. Из этих кривых выберем такие, что материальная точка единичной массы, выходящая из точки P со скоростью v₀ = 0, двигаясь только под действием центральной силы, достигнет точки Q. Задача о брахистохроне формулируется следующим образом:

Существует ли среди этих кривых такая, которую точка пробегает за минимальное время?
Если такая кривая существует, то как ее найти?

Формализуем данную задачу. Задача о брахистохроне в центральном поле тяготения имеет следующие отличия от классической задачи:

Сила тяжести, под действием которой двигается материальная точка, является центральной силой тяжести.
Сила тяжести не постоянна:

| F| = $\displaystyle {\frac{1}{\textstyle r^2}}$ ,
где r - расстояние от точки до центра тяготения.

Исследование данной задачи и вывод функционала времени движения удобно проводить в полярной системе координат, причем без ограничения общности можно упростить постановку задачи. Рассмотрим центральное поле тяготения на плоскости с центром в точке O. Пусть на плоскости дан круг B радиуса r₀ с центром в точке O. Рассмотрим две точки P, Q $\in$ B, причем P $\in$ $\partial$ B. Введем полярную систему координат ( $\phi$ , r) с центром в точке O так, чтобы точка P имела координаты (0, r₀). Пусть точка Q имеет координаты ( $\phi_{1}^{}$ , r₁) ( r₁ $\leq$ r₀) (рис.2).

Рис.2 Для простоты предположим, что рассматриваются только такие кривые, которые являются графиками функций r, где r $\in$ ([0, 2 $\pi$ ) $\rightarrow$ [0, r₀]) $\bigcap$ C₁([0, 2 $\pi$ )), причем функция r должна удовлетворять граничному условию

r(0) = r₀, r( $\displaystyle \phi_{1}^{}$ ) = r₁.

3. Вывод функционала времени движения

Введем следующие обозначения:
$\phi$ - полярный угол движущейся точки ( $\phi$ $\in$ [0, $\phi_{1}^{}$ );
t - время,прошедшее с момента начала движения (t $\in$ [0, T]);
s -длина пути, пройденного движущейся точкой (s $\in$ [0, S]);
v - скорость движущейся точки;
K - кинетическая энергия точки;
P - потенциальная энергия точки;
F - центральная сила притяжения, действующая на точку (| F| = ${\frac{1}{\textstyle r^2}}$ ). Ясно, что

v = $\displaystyle {\frac{ds}{dt}}$ .

Будем исходить из закона сохранения энергии

K + P = const .

В нашем случае

K = $\displaystyle {\frac{v^2}{2}}$ , P = - | F| r = - $\displaystyle {\frac{1}{r}}$ .

Следовательно, закон сохранения энергии имеет вид :

$\displaystyle {\frac{v^2}{2}}$ - $\displaystyle {\frac{1}{r}}$ = - $\displaystyle {\frac{1}{r_0}}$ ,

откуда с помощью простых преобразований получаем, что

v = $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{r_0}}$ $\displaystyle \sqrt{\frac{r_0-r}{r}}$ .

Дифференциал дуги в полярной системе координат выражается формулой

ds = $\displaystyle \sqrt{dr^2+r^2d\phi^2}$ ,

которую можно записать в виде

ds = $\displaystyle \sqrt{r'^2+r^2}$ d $\displaystyle \phi$ .

Тогда

dt = $\displaystyle {\frac{ds}{v}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{r'^2+r^2}d\phi}{\sqrt{\frac{\textstyle 2}{\textstyle r_0}} \sqrt{\frac{\textstyle r_0-r}{\textstyle r}}}}$ .

Интегрируя, получаем функционал

T[r(^.)] = $\displaystyle \sqrt{\frac{r_0}{2}}$ $\displaystyle \int\limits_{0}^{\phi_1}$ $\displaystyle \sqrt{r(\phi) \frac{r'^2(\phi)+r^2(\phi)}{r_0-r(\phi)}}$ d $\displaystyle \phi$ .

Таким образом, сформулированная задача о брахистохроне в центральном поле тяготения приводит к исследованию на минимум функционала T[r(^.)]. Для нахождения минимума функционала T[r(^.)] имеет смысл применять численные методы.

На рис.3 изображено поле оптимальных траекторий для r₀ = r₁ = 1, построенное численное.

Рис.3

4. Изохроны

Ведутся работы

На рис.4 изображены изохроны - линии равного оптимального времени.

Рис.4

Вариационное исчисление | Домашняя страница | Обо мне

В создании этой страницы принимала участие студентка УрГУ Камнева Л.В.

iagsoft@imm.uran.ru