Задача о минимальной поверхности вращения -- проблема удовлетворения граничным условиям

Задача о минимальной поверхности вращения сводится (см., например [1, 2, 4, 6]), к нахождению минимума функционала

J(y(^.)) = $\displaystyle \int_{x_0}^{x_1}$ y(x) $\displaystyle \sqrt{y'^2(x)+1}$ dx ,

(1)

при условии y(x) $\ge$ 0 и граничных условиях

y(x₀) = y₀, y(x₁) = y₁ .

(2)

Легко показать (см. [1, 2, 3, 4, 5, 6]), что общим решением уравнения Эйлера в этой задаче будет цепная линия

y(x) = acosh $\displaystyle {\frac{x-b}{a}}$ ,

(3)

где a, b - константы, которые необходимо подобрать так, чтобы удовлетворить граничным условиям (2).

Полное рассмотрение зависимости a и b от (x₀, y₀) и требует сложных и громоздких выкладок. Поэтому здесь мы рассмотрим упрощенный вариант граничных условий, для которого, тем не менее, хорошо видны проблемы, возникающие при поиске a и b.

Итак, пусть

x₀ = - 1, x₁ = 1, y₀ = y₁ = h

(4)

Из уравнений (4) и (3) следует h = 0. Таким образом задача нахождения коэффициентов в нашем случае сводится к нахождению только коэффициента a, такого, чтобы выполнялось

h = acosh $\displaystyle {\frac{1}{a}}$ . (5)

Это уравнение трансцендентно относительно a и не разрешается аналитически. Для точного нахождения a для конкретного значения h необходимо применять численные методы¹.

Рассмотрим как задачу поиска a можно решить геометрически.

Запишем (5) по-другому:

$\displaystyle {\frac{h}{a}}$ = cosh $\displaystyle {\frac{1}{a}}$ .

(6)

Введем переменную y^* и запишем (6) в виде системы:

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l} y^* = \frac{h}{a}\\ y^* = \cosh \frac{1}{a} \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{l} y^* = \frac{h}{a}\\ y^* = \cosh \frac{1}{a} \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{l} y^* = \frac{h}{a}\\ y^* = \cosh \frac{1}{a} \end{array}}\right.$

(7)

Сделаем замену x^* = 1/a и перепишем (7) в виде

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{l} y^* = h x^*\\ y^* = \cosh x^* \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{l} y^* = h x^*\\ y^* = \cosh x^* \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{l} y^* = h x^*\\ y^* = \cosh x^* \end{array}}\right.$

(8)

Таким образом мы свели задачу поиска a к задаче поиска точки (точек) пересечения прямой y = hx и гиперболической косинусоиды y = cosh x; если нам известна абсцисса x^* точки пересечения этих кривых, то коэффициент a, соответствующий h будет равен

a = $\displaystyle {\frac{1}{x^*}}$

(По сути дела мы получаем искомую кривую y = acosh ${\frac{x}{a}}$ из кривой y = cosh x путем применения к ней гомотетии с коэффициентом ${\frac{1}{a}}$ с центром в точке O(0, 0).

Рис. 1
Рассмотрим график гиперболического косинуса (рис. 1).

Рис. 2
Видно, что для определенных значений h мы имеем два решения системы (8), см., например, рис. 2.

Рис. 3
Соответствующие решения уравнения Эйлера (цепные линии) (5) показаны желтым цветом на рис. 3.

Из рисунков видно, что при уменьшении h наступает случай, когда у системы (8) нет ни одного решения. Аналогичный факт показан в литературе ([1, 2, 3, 4, 7]) и для общего случая граничных условий: существует область допустимых (в смысле постановки задачи) граничных условий для которых не существует решение уравнения Эйлера (нельзя подобрать коэффициенты a и b, чтобы удовлетворить (2)).

Приложение. Демонстрационный апплет

Ниже (рис. 4) приведена программа (апплет) которая решает задачу решения системы (8) "геометрически²". Страница с большим вариантом апплета расположена здесь. (Внимание: для верной работы страницы с большим вариантом Ваша программа просмотра должна поддерживать JavaScript, запасной вариант без JavaScript здесь.)
JAVA not supported!

Рис. 4

Программа предназначена, в основном, для демонстрации слушателям при рассмотрении предмета, то есть как инструмент лектора, но, возможно, будет интересна и индивидуально обучающимся. Желающие использовать апплет отсылаются к техническому описанию апплета, там же есть и двоичный код.

Инструкция по использованию апплета

Исходно апплет изображает график функции y = cosh x. Желаемую величину h можно ввести нажав левую кнопку мыши -- вертикальная координата "клика" соответствует h. Для запуска анимации процесса гомотетии нажмите клавишу на клавиатуре или правую клавишу мыши. Для прекращения процесса анимации нажмите клавишу на клавиатуре или выберите новое значание h нажатием левой клавиши мыши.

Литература

Cesari L. Optimization Theory and Applications. Problems with Ordinary Differential Equations. N.Y., Heidelberg, Berlin: "Springer-Verlag", 1983.
Анисимов В. Курс вариационного исчисления, I-я часть. Функции одного независимого переменного. Варшава, 1904.
Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: ТехГИЗ, 1955.
Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: ФизматГИЗ, 1961.
Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: "Машиностроение", 1969.
Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление. М.: ТехГИЗ, 1958.
Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: "Мир", 1974.

Вариационное исчисление

Благодарности

Автор благодарит Моргунову Наталью Николаевну за незаменимую помощь при переводе статьи из L^AT_EX'а в HTML.

О документе...

This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 98.1p1 release (March 2nd, 1998)

The command line arguments were:
latex2html -no_math -html_version 3.2,math -prefix pmrsd pmrs.tex.

The translation was initiated by Ivanov on 1999-02-11

Кроме того, естественно, много подправлено "ручками". (А.Иванов)

Примечания

... методы ¹: Апплет с программой, решающей эту задачу для более широкого класса граничных условий представлен здесь.
... "геометрически ²: Реально задача решается численно, но программа "делает вид", что она всего лишь проводит геометрические построения.

iagsoft@imm.uran.ru