Задача о брахистохроне

Найдем кривую, соединяющую две точки, при движении вдоль которой частица из состояния покоя под действием гравитации двигалась бы за наименьшее время. Из закона сохранения энергии,

displaymath4122

displaymath4124

таким образом

displaymath4126

displaymath4128

Варьируемая функция в таком случае

displaymath4130

и уравнение Эйлера-Лагранжа дает

displaymath4132

displaymath4134

displaymath4136

displaymath4138

где

displaymath4140

Пусть

displaymath4142

displaymath4431

Положим

displaymath4146

тогда

displaymath4435

Если учитывается трение скольжения, то должны присутствовать члены, соответствующие нормальной компоненте веса и нормальной компоненте ускорения (возникающей из-за кривизны траектории). Включение обоих членов требует применения техники сдержанных вариаций (a constrained variational technique) (Ashby et al. 1975), но включение только нормальной компоненты веса позволяет получить элементарное решение.

Тангенциальный и нормальный вектора есть

displaymath4437

Гравитация и трение выражаются

displaymath4439

а компоненты вдоль кривой есть

displaymath4441

второй* закон Ньютона дает

displaymath4156

Но

displaymath4158

displaymath4160

displaymath4162

итак

displaymath4164

Используя уравнение Эйлера-Лагранжа, получим

displaymath4166

Это можно сократить до

displaymath4168

Положим

displaymath4170

решение есть

displaymath4459


Литература

Ashby, N.; Brittin, W.E.; Love, W.F.; and Wyss, W. "Brachistochrone with Coulomb Friction." Amer. J. Phys. 43, 902-905, 1975.

Haws, L. and Kiser, T. "Exploring the Brachistochrone Problem." Amer. Math. Monthly 102, 328-336, 1995.



© 1996-7 Eric W. Weisstein
Sat Feb 8 09:32:49 EST 1997

© 1997 Перевод на русский язык Алексей Г. Иванов, Ирина В. Целищева


* Примечание переводчика

В оригинале здесь упомянут первый закон Ньютона, мне кажется, что это опечатка, правильно второй закон.


Это перевод на русский язык страницы "Brachistochrone Problem": зеркальная копия (Екатеринбург, Россия), оригинал.
Демонстрационный апплет по задаче о брахистохроне