В Уральском госуниверситете при преподавании вариационного исчисления у механиков большое внимание уделяется применению численных методов в классических модельных задачах. Применяется учебно-демонстрационное программное обеспечение2, разработанное при участии самих студентов.
Аэродинамическая задача Ньютона. Состоит в отыскании образующей y = y(x) (граничные условия y(0) = 0 и y(1) = 1) тела вращения с наименьшим сопротивлением в потоке разреженного идеального газа. Разреженный газ представляется в виде бесконечно малых частиц, не сталкивающихся друг с другом и зеркально отражающихся от поверхности тела при столкновении с ним.
Прежде всего задача решается, следуя [1], в предположении малости величины y'2. Соответствующее решение уравнения Эйлера имеет вид y = x3/4 (коэфф. сопротивления Cx = 0.22). После этого демонстрируется численный поиск решения в классе функций y = xp (минимальное значение Cx = 0.20 при y = x0.46.
Далее, в рамках численного подхода, демонстрируется программа поиска решения методом Эйлера (аппроксимация кусочно-линейной функцией). При этом задача сводится к отысканию минимума функции многих переменных. Оптимальное решение (Cx = 0.19) имеет угловую точку [2].
Задача о наименьшей поверхности вращения. Необходимо отыскать образующую поверхности вращения, которая минимизировала бы площадь этой поверхности. Известно, что искомая образующая -- цепная линия. В зависимости от конкретных граничных условий могут существовать два решения уравнения Эйлера, одно или ни одного. При традиционном изложении не уделяется достаточного внимания случаю отсутствия классического решения. При численном решении методом Эйлера легко обнаруживается разрывное решение: два диска, образующей для которых служит ломаная, состоящая из двух вертикальных отрезков и одного горизонтального, лежащего на оси вращения.
Задача о брахистохроне. В задаче необходимо найти линию наискорейшего спуска между двумя точками в вертикальной плоскости. Этой линией является дуга циклоиды. Проблема нахождения конкретной циклоиды для конкретных граничных условий обычно остается за рамками изложения. Создана программа, которая для любых допустимых граничных условий находит и графически изображает оптимальное решение в виде циклоиды и оптимальное решение в классе двузвенных ломаных. Для случая движения в центральном поле тяготения брахистохрона вычисляется методом Эйлера.
1. М..А.Краснов, Г.И.Макаренко, А.И.Киселев. Вариационное исчисление. М., "Наука", 1973.
2. И.Ньютонъ. Математическiя Начала Натуральной Философiи. П., 1916.
2 Материалы по теме доклада опубликованы в
Internet:
http://cs.imm.intec.ru/~u0100/IAGSoft/vari_.html
iagsoft@imm.uran.ru