ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ В КЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Иванов А.Г.

Описывается преподавание классических задач вариационного исчисления с применением вычислительной техники. Решение задач доводится до построения функций, удовлетворяющих конкретным граничным условиям. Рассматриваются разрывные решения.

Аэродинамическая задача Ньютона

Рис. 1 Состоит в отыскании образующей тела вращения с наименьшим сопротивлением в потоке разреженного идеального газа. Разреженный газ представляется в виде бесконечно малых частиц, не сталкивающихся друг с другом и зеркально отражающихся от поверхности тела при столкновении с ним.

Рис. 2 Прежде всего задача решается, согласно /1/, в предположении малости величины $y'$ ²(т.е. $1+y'$ ²=1). Соответствующее решение уравнения Эйлера имеет вид $y=x$ ^3/4 (коэффициент сопротивления $Cx = 0.22$ ). Для определенности взяты граничные условия $y(0)=0$ и $y(1)=1$ . Ясно, что допущение о малости величины $y'$ ² является грубым. После этого демонстрируется поиск решения в классе функций $y=x$ ^p. Каждому значению показателя $p$ ставится свое значение коэффициента сопротивления (рис. 1). Минимальное значение достигается при $y=x$ ^0.46 ( $Cx = 0.20$ ).

Далее, в рамках численного подхода, демонстрируется программа поиска решения методом Эйлера (аппроксимация решения кусочно-линейной функцией). При этом задача сводится к отысканию минимума функции многих переменных. Оптимальное решение (рис. 2) имеет угловую точку /2/.

Задача о наименьшей поверхности вращения

Рис. 3 Необходимо отыскать образующую поверхности вращения, которая минимизировала бы площадь этой поверхности. Известно, что искомая образующая -- цепная линия (гиперболический косинус). В зависимости от конкретных граничных условий могут существовать два решения уравнения Эйлера (каждое ≈- цепная линия), одно или ни одного. Рис. 4 При традиционном изложении, как правило, останавливаются на задаче выбора оптимальной из двух кривых и не уделяют внимания случаю отсутствия классического решения. При численном решении методом Эйлера легко обнаруживается разрывное решение: два диска, образующей для которых служит ломаная, состоящая из двух вертикальных отрезков и одного горизонтального, лежащего на оси $Ox$ (Рис. 3). В /3/ доказано, что разрывное решение всегда является локальным минимумом. Более того, даже в области существования решения уравнения Эйлера можно численно найти подобласть, где глобальный минимум достигается на разрывном решении. На рис. 4 эта подобласть расположена между "Линией равных площадей" и "Границей области существования классического решения" (граничные условия на левом конце фиксированы: $x$ ₀=0, $y$ ₀=1).

Задача о брахистохроне

В задаче необходимо найти линию наискорейшего спуска между двумя точками в вертикальной плоскости. Этой линией является дуга циклоиды. Проблема нахождения конкретной циклоиды для конкретных граничных условий обычно остается за рамками изложения. Предлагается демонстрационно-обучающая программа, которая для любых допустимых граничных условий находит и графически изображает оптимальное решение в виде циклоиды и оптимальное решение в классе двузвенных ломаных (Рис. 5).

Литература:

1. М.А.Краснов, Г.И.Макаренко, А.И.Киселев. Вариационное исчисление. М., "Наука", 1973. 2. И.Ньютонъ. Математическiя Начала Натуральной Философiи. П., 1916. 3. Н.И.Ахиезер. Лекции по вариационному исчислению. М., Гостехиздат, 1955. 4. Б.Банди. Методы оптимизации. М., "Радио и связь", 1988.

iagsoft@imm.uran.ru