Отрывки из книги:
Отрывки из книги:
Еще Галилею удалось решить задачу: найти наклонную прямую, на которой тяжелая точка упадет из данной точки на данную линию за наименьшее время. Он же обнаружил, что падение точки по вертикальной четверти окружности происходит быстрее, чем по любой ломаной, вписанной в эту четверть окружности. В феврале 1668 г. Мариотт писал Гюйгенсу об этих, работах, считая, что дуга окружности вообще является кривой, двигаясь по которой, точка затрачивает наименьшее время на прохождение между двумя точками. Этого ошибочного мнения придерживался и Галилей. Письмо Мариотта заставило Гюйгенса сделать несколько расчетов, но он рассматривал только два случая: когда начальная и конечная точки связаны ломаной, составленной из двух равных отрезков, и когда за одной ломаной следует горизонтальная прямая. В первом случае он получил уравнение высокой степени, не дающее возможности вычислить длину отрезков; второй случай был доведен до конца. Эти работы можно считать предысторией решения знаменитой задачи о брахистохроне, поставленной Иоганном Бернулли в 1696 г. и решенной, кроме него, его братом Яковом, Лейбницем, Ньютоном и Лопиталем. Кривая оказалась циклоидой, изучению свойств которой Гюйгенс отдал много сил и времени.
Ц и к л о и д а. Кривая, которую описывает какая-нибудь точка окружности, катящейся по прямой линии без скольжения, привлекла к себе в 1598 г. внимание Галилея, назвавшего его циклоидой. "Без скольжения" означает, что при повороте круга на любую дугу он перемещался по прямой на отрезок, длина которого равна длине этой дуги. Спорный вопрос о знакомстве ученых с этой кривой еще до Галилея был предметом многих интересных рассуждений. Вилейтнер отмечал, что история открытия циклоиды не ясна и что некоторые находят эту линию еще у де Бувелля в "Шести книгах введения в геометрию". Все эти работы относятся к предыстории учения о циклоиде, ее собственная история начинается в 1628 г., когда Мерсенн, знающий от учеников Галилея об это кривой, просил Роберваля ее исследовать. Роберваль в 1634 г. нашел, что площадь, ограниченная циклоидой и ее основанием, в три раза больше площади катящегося круга. Декарт не придавал этой задаче большого значения. В письме к Мерсенну от 27 мая 1638 г. он писал: "Вы начинаете с одного открытия господина де Роберваля относительно пространства, заключенного кривой линией, которую описывает точка окруженности круга, который представляют себе катящимся на плоскости. Признаюсь, что до сих пор о ней не думал и что его замечание довольно красиво; но я не вижу, как можно поднимать такой шум по поводу открытия вещи настолько простой, что всякий, хоть немного знакомый с геометрией, не может не открыть ее, если только станет ее искать".
Надо отметить, что ученик, Галилея Вивиани первым провел касательную к циклоиде.
Касательная к циклоиде была определена Декартом, Ферма и Робервалем независимо друг от друга. Декарт опирался на определение кривой как многоугольника с бесчисленным множеством бесконечно малых сторон и на идее о мгновенном центре вращения. Это доказательство обладает значительной общностью, его можно применить и в других случаях.
Роберваль пользовался механическим методом, рассматривая сложение скоростей по правилу параллелограмма. У Ферма метод определения касательной к данной кривой был близок к приему для определения максимальных или минимальных значений.
Гюйгенс сосредоточил внимание на методе Декарта, усовершенствовав его. Доказывали, что некоторая прямая является касательной к кривой, если эта прямая имеет с кривой общую точку и по обе стороны от этой точки расположена с одной и той же стороны кривой.
Гюйгенс колебался, должен ли он дать в своей книге место этому доказательству, то есть провести к циклоиде касательную в данной точке, так как нашел в книге Уоллиса о циклоиде похожее доказательство, принадлежащее знаменитому Рену. Однако, как указывал он, из этого предложения можно выявить общую конструкцию, применимую не только к циклоиде, но и к другим кривым, возникающим из качения какой-либо фигуры, лишь бы эта фигура была всегда вогнутой в одну и ту же сторону и была геометрически определенной фигурой.
iagsoft@imm.uran.ru
